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Journée de formation « Mathématiques discrètes », 15/01/2019

Cette journée de formation, organisée à l'UPEM en collaboration avec l'académie de Créteil, a eu lieu le mardi 15 janvier 2019.

Des journées similaires ont été organisées les années précédentes ; vous pouvez retrouver leurs programmes et documents d'accompagnement en suivant les liens en bas de cette page.

Accès

Les plans d'accès à l'université sont disponibles ici ; la journée se déroulera dans le bâtiment Copernic.

Déroulement de la journée

La matinée est constituée de trois conférences, l'après-midi les participants pourront assister à deux ateliers, en groupes restreints. Les résumés des conférences et des ateliers sont donnés plus bas.

Matinée

Lieu : Amphithéatre 0S100, bâtiment Copernic

9h - 9h30 : Accueil, présentation de la journée et de l'université

9h30 - 10h10 : P. Erdös, un mathématicien discret à la racine du monde

10h10 - 10h50 : Toutes les facettes du Rubik's Cube

10h50 - 11h10 : Pause

11h10 - 11h50 : Autour de l'équation de Bachet

Après-midi (ateliers en groupes restreints)

Lieu : bâtiment Copernic et préfabriqués (voir les résumés plus bas pour les salles).

13h45 - 15h15 Ateliers I

15h15 - 15h30 Pause

15h30 - 17h Ateliers II

Résumés des conférences

Cliquer sur les titres pour accéder aux transparents ou aux documents d'accompagnement.

Paul Erdös, un mathématicien discret à la racine du monde

Paul Erdös, mathématicien itinérant et hors du commun, a marqué profondément les mathématiques du XXè siècle par son goût pour les problèmes, sa curiosité extrême, ses très nombreuses collaborations… et sa personnalité excentrique. À travers quelques problèmes «simples» et quelques preuves «du Grand Livre», nous évoquerons certains de ses domaines de prédilection, en particulier les liens entre théorie des graphes et probabilités.

Intervenant : Pierre-André Zitt

Toutes les facettes du Rubik's Cube

Cela fait déjà plus de 40 ans que le Rubik's Cube tourne les têtes.

Inventé par Erno Rubik dans les années 70, il a très vite passionné les mathématiciens qui y ont trouvé un exemple matériel simple de la notion de groupe, notion théorique fondamentale.

L'aspect théorique se double d'un aspect algorithmique inédit. De nombreuses méthodes de résolution ont été développées et des questions algorithmiques sont encore maintenant sans réponses. Dans un engouement récent, les collégiens et lycéens rivalisent de dextérité dans des concours de vitesses. Mais pour être rapide, il faut avoir des algorithmes efficaces.

De nos jours, il suscite aussi la créativité de beaucoup de gens. Des variantes toujours plus originales les unes que les autres voient le jour, renouvelant ainsi les questions théoriques et algorithmiques.

Dans cet exposé, je voudrais présenter rapidement les aspects théoriques, développer quelques aspects algorithmiques, et exhiber un échantillon de la créativité développée autour du Rubik's Cube. J'essayerai en particulier de mettre en valeur les interactions entre ces trois idées.

Intervenant : Éric Balandraud

Autour de l'equation de Bachet

L'équation x^3= y^2+d semble avoir été étudiée pour la première fois en 1621 par Bachet qui en donne des solutions rationnelles dans le cas d=2. Fermat affirme en 1657 qu'il a trouvé toutes les solutions entières dans les cas d=2 et 4, mais il ne donne aucune indication de démonstration.

Nous étudierons cette équation avec les outils de l'arithmétique, y compris en utilisant les nombres complexes, à la manière de Kümmer. Nous verrons les difficultés qui surgissent alors (en particulier autour de la décomposition en produit de facteurs premiers) et qui sont essentiellement les mêmes que celles que l'on rencontre dans la résolution du grand théorème de Fermat, mais dans un cadre techniquement plus abordable.

Intervenant : Daniel Perrin

Résumés des ateliers

Différents ateliers, prévus pour environ 25 personnes, seront proposés ; chaque participant pourra en suivre deux.

Vous pouvez consulter la répartition par ateliers, qui tient compte dans la mesure du possible des souhaits de préinscription.

Coupes de graphes, marches aléatoires et connectivité

Salle 2B 111, 2è étage

Combien de stations de métro faut-il bloquer pour couper Paris en deux ? Pour répondre à cette question, on définira une façon de quantifier la connectivité d'un réseau. Cette notion de connectivité est en lien avec des problèmes isopérimétriques discrets et, de manière plus surprenante, avec des marches aléatoires sur le réseau. Enfin on présentera les graphes expanseurs, des familles de graphes ayant la plus grande connectivité possible.

Intervenant : Matthieu Fradelizi

Comment calculer la longueur d'une courbe en comptant des points?

Salle 2B 100, 2è étage

La formule de Cauchy–Crofton permet de calculer la longueur d'une courbe plane en intégrant sur l'ensemble des droites du plan le nombre de points d'intersection de la courbe avec chaque droite. Après avoir donné quelques idées de la preuve, nous donnerons un algorithme simple, reposant sur cette formule, qui permet de calculer des longueurs approchées de courbes planes.

Intervenant : Julien Roth

Une maille à l'envers, une maille à l'endroit

préfabriqué C, derrière le bâtiment Copernic, salle C04

Atelier en salle machine

L'approximation de certains problèmes de la physique ou de l'ingénierie passe par la discrétisation de certaines équations continues : on remplace des fonctions inconnues par des n-uplets de valeurs réelles, qui correspondent à l'approximation de ces fonctions en certains points d'un maillage.

L'atelier sera consacré à l'étude de quelques techniques pour mailler, en respectant un certain cahier des charges, des domaines 1D et 2D.

Un maillage L'erreur associée

Intervenant : Robert Eymard

Fichiers source : La notice d'utilisation, et les fichiers source pour le cas unidimensionnel, bidimensionnel.

Peut-on faire confiance au hasard pour résoudre nos problèmes?

Préfabriqué B, derrière le bâtiment Copernic, salle B03

Atelier en salle machine

Même si ce n'est pas souvent le cas dans la vraie vie, cela peut arriver pour des problèmes d'optimisation sur des ensembles discrets très grands! Le but de l'atelier est, après avoir expliqué le principe général de la méthode, de montrer en pratique comment on procède (en utilisant le logiciel R), en résolvant des exemples (par exemple le problème du voyageur de commerce).

Intervenant : Thierry Jeantheau

Fichiers source : disponibles sur demande à l'intervenant (Prénom.Nom@u-pem.fr).

Papiers, ciseaux… et topologie

Salle 2B130, 2è étage

L'objet de cette atelier est l'étude de la topologie des surfaces et des noeuds. Les deux opérations élémentaires de la chirurgie (des surfaces) sont l'« addition des anses» et l'«éclatement des disques».

Les outils technologiques que nous utiliseront seront une paire de ciseaux pointus et un tube de colle. Nous pourrons ainsi opérer quelques patients comme le ruban de Möbius, la surface de Boy, les tore et bouteille de Klein, les surfaces de Seifert….

Notre pratique nous menèra, on l'espère, à une classification des surfaces en fonction de la caractéristique d'Euler.

Intervenant : Laurent Hauswirth

Historique des journées précédentes

Vous pouvez retrouver les programmes et documents d'accompagnement des précédentes journées sur les pages suivantes :