Journée de formation « Mathématiques, images et géométrie », 21/01/2020

Cette journée de formation, organisée à l'université Gustave Eiffel (précédemment UPEM) en collaboration avec l'académie de Créteil et dans le cadre de l'année des mathématiques, aura lieu le mardi 21 janvier 2020.

Des journées similaires ont été organisées les années précédentes ; vous pouvez retrouver leurs programmes et documents d'accompagnement en suivant les liens en bas de cette page.

Accès

Les plans d'accès à l'université sont disponibles ici ; la journée se déroulera dans le bâtiment Copernic.

Déroulement de la journée

La matinée est constituée de trois conférences, l'après-midi les participants pourront assister à deux ateliers, en groupes restreints. Les résumés des conférences et des ateliers sont donnés plus bas.

Matinée

Lieu : Amphithéatre 0S100, bâtiment Copernic

9h - 9h30 : Accueil, présentation de la journée et de l'université

9h30 - 10h10 : De la géométrie dans l'architecture et les structures

10h10 - 10h50 : Optique anidolique et transport optimal.

10h50 - 11h10 : Pause

11h10 - 11h50 : Les carrés dans tous leurs états

Après-midi (ateliers en groupes restreints)

Lieu : bâtiment Copernic

13h45 - 15h15 Ateliers I

15h15 - 15h30 Pause

15h30 - 17h Ateliers II

Vous pouvez consulter la répartition par ateliers, qui tient compte dans la mesure du possible des souhaits de préinscription.

Résumés des conférences du matin

L. Hauswirth : De la géométrie dans l'architecture et les structures

Résumé à venir.

B. Thibert : Optique anidolique et transport optimal.

L'optique non imageante, ou optique anidolique, est une branche de l'optique qui vise à concevoir des dispositifs tels que lentilles ou miroirs, réfléchissant ou réfractant la lumière émise depuis une source. Il ne s' agit pas de reconstituer l'image de la source mais bien d'orienter la lumière sur des trajets choisis. Nous verrons comment la théorie mathématique du transport optimal et l'utilisation d'objets géométriques appelés diagrammes de Voronoi permettent de construire des miroirs et des lentilles qui réfléchissent ou réfractent la lumière du soleil en n'importe quelle cible de lumière.

J. Dhombres : Les carrés dans tous leurs états

L’angle droit est en quelque sorte retrouvé (dernière proposition du live I des Eléments d’Euclide) à partir de la relation métrique de Pythagore (a2+ b2 = c2), laquelle est aussi une égalité de carrés entendus cette fois au sens géométrique. Sur ce thème du carré à double sens (qui peut se résumer en faisant se rejoindre une égalité de longueur et un angle droit), on peut alors parcourir dans l’histoire et jusqu’à aujourd’hui quelques beaux résultats mathématiques depuis les triades pythagoriciennes et le « nombre d’or », voire les carrés magiques, jusqu’à la méthode des moindres carrés et les inégalité de Heisenberg en mécanique quantique. La règle du jeu étant de ne pas dépasser le « programme » du Secondaire, ou plus exactement de dire explicitement ce qui doit être supposé acquis pour pouvoir présenter ce parcours.

Résumés des ateliers

Différents ateliers, prévus pour environ 15 à 20 personnes, seront proposés ; chaque participant pourra en suivre deux.

Merci de vous préinscrire aux deux ateliers de votre choix afin de nous permettre d'équilibrer les groupes, en vous rendant sur cette page.

D’un jeu d’observation pour enfants (le Dobble) à la géométrie projective sur les corps finis.

Intervenant : M. Fradelizi

Le Dobble est un jeu d’observation pour enfants constitué de 55 cartes sur lesquelles apparaissent 8 symboles de façon à ce que deux cartes aient toujours exactement un symbole en commun. Le jeu est de retrouver le plus rapidement possible ce symbole commun. On construira à la main une version du jeu en modèle réduit et on verra que la géométrie projective sur les corps finis est un outil naturel pour comprendre les différentes constructions possibles.

Méthode de Newton, systèmes dynamiques et fractals

Intervenant : O. Sester

La méthode de Newton est l'un des algorithmes les plus anciens pour extraire la racine carrée d'un nombre réel, celle-ci fournit des approximations successives de "la vraie racine carrée" qui convergent a une vitesse prodigieuse.

Au 20ième siècle, le schéma de Newton a été une source d'inspiration pour démontrer certains des plus grands théorèmes et dans de nombreuse branches des mathématiques : Théorèmes K.A.M, Nash-Moser… . Comme l'a dit un célèbre mathématicien : "A lui seul ce schéma diabolique transcende la distinction artificielle entre mathématique pure et mathématique appliquée."

Dans cet atelier nous reviendrons sur les raisons expliquant la rapidité phénoménale de la méthode de Newton. Dans un second temps, nous étudierons une généralisation aux nombres complexes, en expliquant comment la méthode de Newton vu comme un système dynamique du plan complexe donne naissance à des ensembles fractals dont nous analyserons certaines propriétés.

Bulles de savon

Intervenant : J. Roth

Nous présenterons quelques aspects de la théorie des surfaces minimales. Physiquement, celles-ci apparaissent naturellement comme films de savon lorsque l'on sort un contour métallique fermé de l'eau savonneuse. Nous donnerons de nombreux exemples, les résultats fondamentaux de la théorie ainsi que des exemples d'applications.

Résumé à venir.

Déformation des courbes planes

Intervenant : P. Romon

On s’intéresse à l’évolution des courbes planes suivant divers invariants géométriques, notamment la courbure. Cette évolution peut avoir comme effet de «simplifier» la courbe afin de la classifier par exemple. Dans le cas continu, il s’agit d’une équation différentielle aux dérivées partielles, pour laquelle des résultats pointus ont été démontrés. Mais dans le cas des courbes discrètes (polygonales), on se ramène à une (simple) équation différentielle ordinaire. Nous verrons comment définir cette équation avec ou sans contraintes, et aussi comment l’intégrer numériquement (ce qui pose des problèmes spécifiques intéressants).

Historique des journées précédentes

Vous pouvez retrouver les programmes et documents d'accompagnement des précédentes journées sur les pages suivantes :

• "Mathématiques discrètes" de janvier 2019,
• "Mathématiques et jeux" de janvier 2018,
• "Mathématiques et informatique" de janvier 2017,
• "Le calcul sous toutes ses formes" de janvier 2016,
• "Modéliser" de janvier 2015,
• "Probabilités et Statistiques" de janvier 2014.