Journée de formation, 14 janvier 2016

" Le calcul sous toutes ses formes, du lycée à l'université "

Cette journée de formation, organisée à l'UPEM en collaboration avec l'académie de Créteil, a eu lieu le jeudi 14 janvier 2016. Une journée similaire sera organisée cette année.

Déroulement de la journée

La matinée était constituée de trois conférences, l'après-midi les participants ont pu assister à deux ateliers, en groupes restreints. Les résumés des conférences et des ateliers et des liens vers les documents d'accompagnement sont donnés plus bas.

Matinée

Lieu : Amphithéatre Maurice Gross, bâtiment Copernic

9h - 9h30 : Présentation de la journée et de l'université

9h30 - 10h10 : L'aventure des nombres

10h10 - 10h50 : Calcul formel avec SageMATH

10h50 - 11h10 : Pause

11h10 - 11h50 : Si Euler était vivant, il ne prouverait pas des théorèmes d'existence… il ferait de l'analyse numérique

Après-midi (ateliers en groupes restreints)

Lieu : bâtiment Copernic

13h45 - 15h15 Ateliers I

15h15 - 15h30 Pause

15h30 - 17h Ateliers II

Résumés des conférences

### L'aventure des nombres

Voici environ vingt-cinq siècles, les mathématiciens grecs ont découvert ce que nous appelons aujourd’hui les nombres irrationnels. Cette première confrontation avec des algorithmes de calcul sans temps d’arrêt les a obligés à créer une axiomatique qui permettait de parler précisément de ces objets nouveaux, pour lesquels le Logos faisait défaut. Nous verrons tout d’abord quelques méthodes géométriques et logiques que les Anciens ont mises en place. Mais les temps modernes ont connu une crise des fondements analogue à la crise des irrationnels, qui nous a fait découvrir que la vérité arithmétique ne se laissait pas réduire au démontrable. Nous ferons donc quelques pas dans ce nouveau monde où les découvertes de Gödel nous ont conduit.

Pour approfondir : les éléments évoqués dans la conférence sont détaillés dans deux ouvrages de G. Godefroy, "L’aventure des nombres" et "Les mathématiques mode d’emploi" (éditions Odile Jacob).

Intervenant : G. Godefroy

Calcul formel avec SageMATH

SageMath est un logiciel libre de mathématiques sous licence GPL. Il combine la puissance de nombreux programmes libres dans une interface commune basée sur le langage de programmation Python.

Mission: Création d'une alternative viable libre et open source à Magma, Maple, Mathematica et Matlab.

SageMath permet de faire des mathématiques générales et avancées, pures et appliquées. Il couvre une vaste gamme de mathématiques, dont l'algèbre, l'analyse, la théorie des nombres, la cryptographie, l'analyse numérique, l'algèbre commutative, la théorie des groupes, la combinatoire, la théorie des graphes, l'algèbre linéaire formelle, etc … Nous verrons ensemble l'histoire de ce logiciel, ses objectifs, son esprit de développement et ses utilisations dans le domaine de la recherche et de l'enseignement.

Pour approfondir : les transparents de la conférence, le site de Sage, la plateforme de calcul SageMathCloud.

Intervenant : N. Borie

Si Euler était vivant, il ne prouverait pas des théorèmes d'existence… il ferait de l'analyse numérique.

L'analyse numérique (ou calcul scientifique) est l'étude des algorithmes permettant de résoudre les problèmes des mathématiques du continu, c'est-à-dire les problèmes impliquant des variables réelles, tels que les équations différentielles, les systèmes linéaires, les calculs de valeurs propres, etc… L'objectif de cet exposé est de présenter quelques spécificités et difficultés de cette branche des mathématiques.

Pour approfondir : les transparents de la conférence.

Intervenant : D. Doyen

Résumés des ateliers

Calcul sur les entiers et cryptographie

Dans cette séance nous verrons comment l’arithmétique élémentaire (et un peu moins… ) a été mise à profit depuis les années 70 dans le domaine de la cryptographie. Nous étudierons notamment l’algorithme RSA et les méthodes qui permettent de générer les grands nombres premiers nécessaires à la mise en \oe uvre de l’algorithme. Ou comment la complexité des calculs peut être un atout!

Intervenant : R. Dujardin

WIMS : un outil d’exercices en ligne (en salle machines)

Le logiciel libre WIMS est une plateforme d'exercice permettant en particulier d'accompagner l'entraînement au calcul des élèves. Cet atelier consistera en une présentation et une prise en main de cet outil.

Pour approfondir : les transparents de l'atelier.

Intervenante : M. Kobylanski

Comment (ne pas) calculer la suite de Fibonacci (en salle machines)

Cet atelier de programmation (en langage Python) passera en revue plusieurs algorithmes assez différents permettant (en principe) de calculer un terme de rang quelconque de la suite de Fibonacci. Certaines de ces méthodes sont très simples, d'autres demandent une petite analyse mathématique préalable. Autour de ce problème simple et très connu, nous aurons l'occasion de discuter des limites du calcul sur machine : temps de calcul, taille de représentation des nombres, imprécisions d'arrondi… de nombreuses choses peuvent mal se passer.

Une expérience minimale de la programmation (en Python ou non) est conseillée, mais non indispensable.

[Note : cet atelier a été présenté au stage sur l'algorithmique proposé par l'IREM de Paris au PAF 2014-2015.]

Pour approfondir : la feuille d'exercices proposée, et une correction possible. Ces fichiers doivent être ouverts avec l'environnement Jupyter, qui doit donc être préalablement installé. Plus simplement, après ouverture d'un compte (gratuit) sur SageMathCloud, les feuilles peuvent être copiées directement dans l'espace de travail grâce aux deux liens suivants : énoncé et corrigé.

Intervenant : A. Meyer

Grands nombres et problème de l'arrêt

L'indécidabilité du problème de l'arrêt implique que toute suite croissant suffisament vite est incalculable… Nous tâcherons de comprendre pourquoi ! Aucune connaissance préalable n'est requise.

Intervenant : X. Goaoc

Calcul des éphémérides (en salle machines)

Les éphémérides sont des tables donnant les positions des corps célestes (les planètes, le Soleil, la Lune, etc…) pour une période donnée. Elles sont essentielles pour effectuer des observations astronomiques ou planifier des missions spatiales. De nos jours, les éphémérides sont calculées en intégrant numériquement les équations du mouvement des corps célestes. Dans cet atelier, nous étudierons et programmerons un générateur d'éphémérides simplifié. Nous ne considèrerons que 6 corps (le Soleil, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton) et les seules forces prises en compte seront les interactions gravitationnelles.

Pour approfondir : les transparents de l'atelier et le code source Scilab.

Intervenants : D. Doyen, O. Sester

Méthode de Monte-Carlo

Comment utiliser les outils probabilistes pour faire des calculs numériques d'une façon performante ? Et dans quelles situations il peut être utile de le faire ? Nous essaierons de proposer quelques pistes de réponses….

Intervenant : T. Jeantheau